Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 3. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 186, а). Докажем, что с² = а² + b².

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке 186,6. Площадь S этого квадрата равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна и квадрата со стороной с, поэтому

Таким образом, (а + b)² = 2аb + с², откуда с² = а² + b².

Теорема доказана.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа- гора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакомились, ещё с одним познакомимся в следующей главе (задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.